y+ 估值与第一层网格高度

在 CFD 分析划分网格时，通常需要利用 y+ 值来估计第一层网格高度。

首先，需要计算雷诺数 (Reynolds Number):
$$Re=\frac{\rho U L}{\mu}=\frac{UL}{\nu}$$

再估计表面摩擦系数，可利用在 CFD Online 上列出的公式，如 Schlichting 表面摩擦系数：
对于雷诺数小于 10⁹ 时，$C_f=(2\log Re-0.65)^{-2.3}$

进一步，计算表面剪切力
$$\tau_w=C_f\frac{1}{2}\rho U^2$$

接下来计算摩擦速度
$$u_\ast=\sqrt{\tau_w/\rho}$$

最后计算 第一层网格高度
$$y=\frac{y^{+}\mu}{\rho u_\ast}$$

对于空气动力学方面的计算，通常使用推荐值 $y^{+}=11.63$. 通过这种方式计算出的第一层网格高度，第二层及以后的网格高度以一定的比例因子增大。在这样的网格下计算时，边界条件上无需处理成壁面函数，而可直接使用湍流模型计算。其主要原因是在这个值以下，$u^+=y^+$是粘性层分布，而当$y^{+}>11.63$时，$u^+~\log(y^+)$. 因此，当选用 k-ε 模型时，需要使用壁面函数，因为， k-ε 模型是充分发展的湍流模型，而不能模拟层流到湍流的转捩 (liè)。

References
[1] Y plus wall distance estimation, https://www.cfd-online.com/Wiki/Y_plus_wall_distance_estimation, retrieved on 2017-06-11
[2] Skin_friction_coefficient, https://www.cfd-online.com/Wiki/Skin_friction_coefficient, retrieved on 2017-06-12
[3] Generally about meshes for turbulent RANS flows, http://www.cfdsupport.com/OpenFOAM-Training-by-CFD-Support/node134.html, retrieved on 2017-06-12
[4] OpenFOAM 中的壁面函数（一）, http://xiaopingqiu.github.io/2016/04/25/wallFunctions1/, retrieved on 2017-06-12