kEpsilon 湍流模型

kEpsilon (k-ε) 湍流模型是计算流体力学中应用最为广泛的一种湍流模型。它通过两个方程来描述湍流运动。其中一个方程是关于湍流的动能 (k)，而另一个则是关于湍流的耗散 (ε)，即湍流动能的耗散率。

不同于早期的湍流模型，如混合长度模型，k-ε 模型集中解决影响湍流动能的影响因子。k-ε 模型最基本的假设是湍流粘度是各向同性的，也就是说，雷诺应力与平均变形速率之比在各个方向上是相同的。

真正的 k-ε 模型包含了很多变量和不可测量的因子，为提升实用性，通常使用标准 k-ε 模型 (Launder and Spalding, 1974[2])，它最大程度上地减小了未知量，现大量用于湍流的计算。

湍流动能 (turbulent kinetic energy) k 的方程为
$$\frac{\partial (\rho k)}{\partial t}+ \frac {\partial (\rho k u_i)}{\partial x_i}=\frac {\partial}{\partial x_j}\left[\frac {\mu_t}{\sigma_k}\frac {\partial k}{\partial x_j}\right]+2{\mu_t}{E_{ij}}{E_{ij}}-\rho \varepsilon$$

湍流动能耗散率 (dissipation) ε 的方程为
$$ \frac{\partial (\rho \varepsilon)}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho \varepsilon u_i)}{\partial x_i} = \frac {\partial}{\partial x_j}\left[\frac {\mu_t}{\sigma_\varepsilon}\frac {\partial \varepsilon}{\partial x_j}\right] + C_{1 \varepsilon} \frac{\varepsilon}{k} 2{\mu_t}{E_{ij}}{E_{ij}}- C_{2 \varepsilon } \rho \frac{\varepsilon ^2}{k}$$
式中，
$u_i$ 表示各方向上的速度分量
$E_{ij}$ 表示变形速率的分量
$\mu_t$ 湍流模型 (涡) 粘度
$ \mu _t = \rho C _{\mu} \frac{k^2}{\varepsilon}$

其物理意义是
k 或 ε 的变化率 + k 或 ε 的对流传输 = k 或 ε 的扩散传输 + Rate of production of k 或 ε - Rate of destruction of k 或 ε

方程中包含了一些可调的经验参数，可以使计算更加趋于合理。一般情况下，可以取值如下：
$C_{\mu} = 0.09, \quad \sigma_k = 1.00, \quad \sigma_{\varepsilon} = 1.30, \quad C_{1\varepsilon} = 1.44, \quad C_{2\varepsilon} = 1.92 $

适用情况

k-ε 模型主要针对平面剪切流和循环流动。该模型现广泛用于工业和环境流动。在较小压力梯度的自由剪切层流动，在一些雷诺应力很重要的封闭流动场合也可以使用。也是目前比较简单的湍流模型，仅需要配置边界条件和初始条件。

k-ε 模型在一些开放流、曲面边界层、旋转流及非圆截面管道流表现较差。

参考文献

1. K-epsilon turbulence model, https://en.wikipedia.org/wiki/K-epsilon_turbulence_model, retrieved on 2017-06-05
2.