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在你的用户目录里，有一个隐藏文件 .bashrc，在里面添加以下语句，

alias fe31='source $HOME/OpenFOAM/foam-extend-3.1/etc/bashrc'
alias of4x  ='source $HOME/OpenFOAM/OpenFOAM-4.x/etc/bashrc'
alias of5x  ='source $HOME/OpenFOAM/OpenFOAM-5.x/etc/bashrc'
alias of1806='source $HOME/OpenFOAM/OpenFOAM-1806/etc/bashrc’

就可以实现 OpenFOAM 的多版本共存，当你需要使用其中一个版本时，比如 foam-extend-3.1， 就打开一个终端，在命令行键入 fe31，随后就可以在这个终端使用 foam-extend-3.1 版本了。

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接 Code of the Week #8: solver PCG，这一次来讲讲容差的设置。这个设置位于 system/fvSolution ，部分如下：

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前面已经基本了解了 OpenFOAM 对方程是如何离散的，即对 PDEs (偏微分方程, Partial Differential Equations) 离散成矩阵的乘法，以方便计算机求解： $$ \mathbf{A}\varphi=\mathbf{Q} \tag{1} $$ 式中， $\mathbf{A}$ 为矩阵的系数， $\varphi$ 为待求的未知数向量， $\mathbf{Q}$ 为已知向量。

计算机在求解这些方程时，针对方程的特点，也提供了很多的选择，如何选择方程求解的算法，OpenFOAM 将会读取一个设置文件，即位于算例文件夹下的 system/fvSolution 文件，该文件 的一部分如下：

在 system/fvSchemes 里，经常见到

laplacianSchemes
{
    laplacian(rAU, p) Gauss linear corrected;
}

laplacianSchemes 是在 system/fvSchemes 文件里的子字典，指定 laplacian 项的离散格式，其语法是

laplacianSchemes
{
    default         none;
    laplacian(gamma,phi) Gauss <interpolationScheme> <snGradScheme>;
}

其代表的意义是 $$ \nabla\cdot(\Gamma\nabla \phi) = \Gamma\nabla^2 \phi = \Gamma\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} \phi + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} \phi + \frac{\partial^2}{\partial x_3^2} \phi\right) $$

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fvm::laplacian(rUA, p) == fvc::div(phi)

这一行程序是 icoFoam 中的一行，写成张量形式为 $$ \frac{1}{A_p}\nabla^2 p =\frac{1}{A_p}\nabla\cdot(\nabla p)= \nabla \cdot U \tag{1} $$ 称为压力泊松方程。rUA 就是方程中的 $\dfrac{1}{A_p}$ 。

$A_p$ 是动量方程离散后，去掉压力梯度项，当前 Cell 的矩阵系数： $$ A_\mathrm{P} \mathbf U_\mathrm{P}^{n+1} + \sum A_\mathrm{N}\mathbf U_\mathrm{N}^{n+1} - E_\mathrm{P}^{n+1} = 0 \tag{2} $$

不过，我们先来看一下 U 方程：

下面 icoFoam.C 片段：

本周，我们了解一下散度的离散格式指定，如下程序段位于 system/fvSchemes 内。

divSchemes 
{ 
    default         none; 
    div(phi,U)      Gauss linear; 
} 

这一对 {} 指定 $\nabla\cdot$ 的离散方法，其中，default none; 指的是无缺省的离散格式；div(phi, U) Gauss linear; 指定了 $\nabla\cdot(\rho U U)$ 的离散格式为Gauss 方法，并使用中心差分。

Gauss 方法是散度的唯一离散方法，并在其后需要指定所求场的插值格式。指定的方法为

今天，我们要讲的是

solve(UEqn == -fvc::grad(p));

这一行程序来自于 icoFoam.C ，从字面上理解是求解方程组。

首先，来看一下括号里面各项的定义：

本周，我们讨论一下这一个语句：

fvm::laplacian(nu, U);

这一项是动量方程 $$ \frac{\partial U}{\partial t} + \nabla\cdot(UU) = -\nabla p + \nabla\cdot\tau $$ 的右边第二项。

考虑不可压缩牛顿流体，则有 $$ \tau = \nu ( \nabla U +(\nabla U)^T ) $$ 由于不可压缩牛顿流体有 $$ \nabla U = (\nabla U)^T,\, \nabla\cdot U =0 $$ 因此，$\tau$ 的散度为 $$ \nabla\cdot\tau = \nu \nabla^2 U $$ 这一步具体推导可见 wiki N-S 方程推导。

本周，我们讨论一下这一个语句：

fvm::ddt(U);

这一项是动量方程 $$ \frac{\partial U}{\partial t} + \nabla\cdot(UU) = -\nabla p + \nabla\cdot\tau $$ 的左边第一项。

求解这一方程时，需要对 $p$ 和 $U$ 进行解耦。但是，本周，我们不讨论解耦的问题，而讨论一下时间项是如何离散的。为方便说明，设 $$ \frac{\partial U}{\partial t} = S $$ 右边的 $S$ 为源项。